第 4 题｜三维区域 Ω 交互图

曲面 z = √(4 − x² − y²) 与 z = √(x² + y²) 围成有界区域

原题 · 选择正确的积分限

已知有界区域 Ω 由曲面 z = √(4 − x² − y²) 与 z = √(x² + y²) 围成，函数 f(u) 连续，则 ∭_Ω f(x²+y²+z²) dx dy dz 的球坐标表达式为：

正确选项：C

C 的积分描述：球坐标中绕 z 轴转一周，极角从 0 到 π/4，球半径从原点走到 R=2，正好扫出圆锥内部与上半球面的公共区域。

B 项 · 按积分符号生成区域

准备开始

这是几何构造顺序：点→线→面→体；积分真正计算时仍从右往左执行。

每根 z 生成线

0 ≤ z ≤ √(4−r²)

下端固定在 xy 平面，上端碰到球面就停止；且 0≤r≤√2。

① dr：0≤r≤√2

② dθ：0≤θ≤2π

③ dz：0≤z≤√(4−r²)

透视观察

按住拖动 · 滚轮缩放 · 方向键微调图内上下左右旋转 · 图外滑动页面

上下左右拖动旋转三维视角

柱坐标 · 书写顺序：dθ → dr → dz
实际从右往左：先 dz，再 dr，最后 dθ

图层

交线上圆锥满足 z = ρ，球坐标中就是 R cosφ = R sinφ，所以 φ = π/4。区域位于圆锥内部、靠近 z 轴的一侧。

←→ 旋转　+− 缩放

柱坐标 (r, θ, z)绕 z 轴切圆柱：先定半径 r，再沿 z 方向从圆锥面到球面。

球坐标 (R, θ, φ)从原点发射射线：R 从 0 到 2，极角 φ 被圆锥卡在 0 到 π/4。

dθ：绕 z 轴转一圈

dr（柱）：水平圆柱半径；dr（球）：题目沿用 r 表示球半径 R

dz：竖直高度；dφ：从 z 轴量出的极角

01 · 柱坐标交线ρ = √(4−ρ²)

→

02 · 解出交圆ρ = √2，z = √2

→

03 · 球坐标区域0≤φ≤π/4，0≤R≤2